МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАУЧНО-ИСЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР ПРИ МОСКОВСКОМ АВИАЦИОННОМ ИНСТИТУТЕ

Ципенко А.В.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИСПЕРСНОГО НЕРАВНОВЕСНОГО ПОТОКА С БОЛЬШОЙ ДОЛЕЙ ЖИДКОСТИ В СОПЛЕ С УЧЕТОМ ПЛЕНКИ, СТОЛКНОВЕНИЙ И АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ДРОБЛЕНИЯ КАПЕЛЬ

Москва 2004 г.

Введение

Газокапельные потоки в соплах, с большой долей дискретной фазы, когда отношение массовых расходов газа и жидкости превышает 10, являются малоисследованным объектом в силу целого ряда причин. С одной стороны, до последнего времени для практики вполне хватало интегральных характеристик: средняя скорость, средний диаметр капель, давление вдоль канала и т.п., с другой – высокая плотность потока капель значительно осложняет экспериментальное получение локальных параметров. Однако развитие современных технологий, в частности в области пожаротушения, привело разработчиков к необходимости управления параметрами таких потоков (в соплах и струях) и, как следствие, к необходимости детального изучения их структуры.

Экспериментальное исследование сопловых течений /1-6/ показало, что на стенках канала присутствует пленка, в которой течет значительная доля от общего расхода жидкости через сопло, что концентрация капель требует учета столкновений между ними, что разность скоростей газа и капель может вызывать аэродинамическое дробление последних.

В наиболее подробных экспериментах /2-5/ исследовался поток со следующими характеристиками:

массовый расход воды	390	г/с
массовый расход воздуха	13	г/с
Отношение расходов	30
давление на входе в сопло	5	атм
средняя скорость газа на выходе из сопла	110	м/с
средняя скорость капель на выходе из сопла	57	м/с
импульс, создаваемый соплом	29,64	Н

Температура воды равна ≈ 290 К и практически не меняется вдоль канала.

Для численного исследования[1] этого и подобных потоков предполагается использовать приведенную ниже модель.

1. Выбор модели пленки и взаимодействия капель со стенкой сопла.

1.1. Основные положения модели.

Основываясь на результатах расчетов по монодисперсной модели /2/ можно предположить, что, по крайней мере в сужающейся части сопла, должна быть пленка. Важный вопрос – характер течения пленки. В зависимости от потенциальной поверхностной энергии взаимодействия и расхода жидкости в пленке возможно течение сплошным слоем или ручьями. Для простоты предположим, что стенка сопла абсолютно смачиваемая и пленка течет сплошным слоем, поэтому не рассматриваем модели и экспериментальные данные о взаимодействии капель с не смоченной поверхностью. Отсюда же следует что, раз образовавшись, пленка так и течет до среза сопла, возможно, ультратонким слоем[2].

Так как эксперименты проводились на воде и воздухе, то в дальнейшем будем использовать экспериментальные данные и физико-химические характеристики только этих веществ, оставляя в стороне вопросы влияния вязкости, поверхностного натяжения, смачиваемости и т.п. на параметры пленки.

Предполагается использование экспериментальных данных о зависимости коэффициентов трения и теплообмена от средних характеристик пленки, поэтому достаточно рассмотреть течение пленки в одномерной постановке. Для расчета потока в сопле будет использоваться сеточный метод установления, поэтому логично и параметры пленки рассчитывать в зонах, соответствующих ячейкам расчетной сетки (элементам объема), и на конечном временном интервале Δt. На рис.1 приведена схема течения пленки с учетом всего вышесказанного.

Для удобства граница расчетной области проходит не по стенке канала, а по кривой – сплайну третьего порядка, сглаживающему поверхность пленки, поэтому считаем силы трения и скорость пленки параллельными границе расчетной области. Толщина пленки – расстояние от стенки до поверхности пленки в направлении нормали к поверхности.

С течением времени на участке 1-2 изменение массы пленки произойдет за счет втекания жидкости слева (ρ_p·W_{film 1}·S_{film 1}), вытекания справа (ρ_p·W_{film 2}·S_{film 2}), выпадения капель из потока (G_in = ρ_p·α_p·Wp_n·S₁₂), отражения части ударившихся о пленку капель (K_refr·G_in, где K_refr – коэффициент отражения) и срыва капель с гребней поверхностных волн (ΔM_out):

ρ_p·(V_t+Δt-V_t) = Δt·[ρ_p·W_{film 1}·S_{film 1}- ρ_p·W_{film 2}·S_{film 2}+ρ_p·α_p·Wp_n·S₁₂·(1- K_refr)- ΔM_out] (1)

где V_t+Δt, V_t - объем пленки на моменты времени t+Δt и t соответственно, S₁₂ - площадь элемента граничной поверхности пленки, Wp_n - нормальная составляющая скорости капель к пленке (если капли летят от стенки, то слагаемое с Wp_n не учитывается), ρ_p - плотность жидкости, α_p - объемная концентрация капель в потоке у поверхности пленки, S_{film 1}- площадь поперечного сечения пленки в сечении 1, S_{film 2}- площадь поперечного сечения пленки в сечении 2, W_{film 1}- скорость пленки в сечении 1, W_{film 2}- скорость пленки в сечении 2.

Рис.1. Схема течения пленки. ABCD – ячейка расчетной сетки; F_w – сила трения пленки о стенку; F_film – сила трения газа о пленку; W_film – скорость пленки; D_film – толщина пленки; φ – угол столкновения капли с пленкой.

Импульс пленки меняется за счет притока-оттока массы с соответствующей скоростью, а также из-за перепада давления и сил трения[3]:

ρ_p·[( W_film·V)_t+Δt-( W_film·V)_t] =

= Δt·[ρ_p·W_{film 1}·S_{film 1}·W_{film 1}- ρ_p·W_{film 2}·S_{film 2}·W_{film 2}+ (2)

+ρ_p·α_p·Wp_n·S₁₂·Wp_τ -ρ_p·α_p·Wp_n·S₁₂·K_refr·Wp_refr-

-ΔM_out·W_film+F_film·S₁₂-F_w·S₁₂+P₁·S_{film 1}- P₂·S_{film 2}+P₁₂·S_surface·n_w],

где Wp_τ – составляющая скорости капель, параллельная поверхности пленки[4], Wp_refr - параллельная поверхности пленки составляющая скорости отскочивших (выбитых) капель, P₁₂ - среднее давление над пленкой на участке 1-2, S_surface - площадь поверхности пленки на участке 1-2, n_w=(D_{film 2}-D_{film 1})/ΔL ( - расстояние по поверхности пленки между сечениями 1 и 2). Здесь предполагается, что сорванные газом капли имеют скорость пленки. Так как рассматривается одномерная модель пленки, то нормальные составляющие скорости отскочивших и сорванных капель не учитываются в уравнениях пленки. Однако их надо учитывать в уравнениях для дискретной фазы (см. п.3.2.1).

Силу трения пленки о стенку определим аналогично работе /7/:

F_w = С_w·ρ_p·W_film²/2, (3)

где С_w – коэффициент трения. Оценка работы силы трения (см. Приложение 1) показывает, что ее влиянием на температуру пленки можно пренебречь. Как видно из эксперимента /8/, температура капель меняется незначительно (см. Приложение 2 и рис.2 с профилем сопла), поэтому в дальнейших рассуждениях и расчетах полагаем температуру пленки постоянной. Испарение, как показывает оценка (см. Приложение 3), также можно не учитывать.

Теплообмен между газом и пленкой описывается соотношением /9/:

ΔQ = Δt·α_T·(T_gas-T_border)·S, (4)

где α_T – коэффициент теплообмена, T_gas - температура газа, T_border - температура границы пленки, S - площадь поверхности пленки. Коэффициент теплообмена вычисляется по соотношению:

α_T = 0.023·(Re_D)^0.8·(Pr)^0.4·l_g/(2·R_nozzle)

где Pr = C_{p_gas}·μ_g/l_g – число Прандтля,

Re_D = ρ_g·2·R_nozzle·|W_g|/μ_g – число Рейнольдса потока газа, вычисляемое по диаметру канала и средней скорости течения,

T_border = (T_film·l_p/D_film+T_g·α_T)/(l_p/D_film+α_T).

Сила трения газа о пленку определяется в соответствии с /7/:

F_film = С_film·ρ_g·(W_{gas τ}-W_film)²/2, (5)

где С_film – коэффициент трения, W_{gas τ} - составляющая скорости газа, параллельная поверхности пленки. Влиянием работы силы трения F_film между газом и пленкой на температуру пленки пренебрегаем.

Основная проблема в такой модели пленки – определение коэффициентов трения, отражения капель и уноса жидкости газом. Для задания коэффициентов трения воспользуемся данными работ /7,10,11/:

┌

│0.005[5] – для турбулентного режима течения /11/ (6)

С_w = ┤0.007·[1+0.29·(Re_film-93)] – так определено для 93< Re_film <720

│ в работе Бариловича и Смирнова /10/ (7)

│0.3164/Re_film^0.25 – такая формула использовалось в работе

│ Лепешинского И.А. /7/ (8)

└

Коэффициент трения газа о пленку

С_film = 0.02·(1+180·D_film/R_nozzle) (9)

определяется по данным /11/, где R_nozzle - радиус сопла.

Столкновение капель с пленкой описывается на основе экспериментальных данных. У А.А.Шрайбера и Л.Е.Стернина /12/ коэффициент отражения K_refr определяется по формуле, справедливой при малых углах φ столкновения капель и пленки:

1-K_refr = B·[1-0.884·Lp^-0.027·exp(-0.188/Lp)]·We^α·D^β·φ^γ (10)

где 0.6<Lp<5800 ; 30<Re<3000 ; 0.35<D<5 ; φ<10^o ; We=Re²/Lp ; числа Re и Lp вычисляются по размеру капли и физическим свойствам жидкости, φ - угол столкновения в градусах, D=Dp/D_film (D_film – толщина пленки), коэффициенты B, α, β и γ приведены в таблице 1:

Таблица 1

Значения коэффициентов для расчета отражения капель по формуле (10)

Dc		B	Α	β	γ
1.2	D ≤ Dc	0.0726	0.046	0.008	1.453
	D > Dc	0.129	-0.027	0.257	1.348
1.4	D ≤ Dc	0.078	0.045	0.027	1.431
	D > Dc	0.115	-0.03	0.341	1.386

В работе Подвысоцкого и Баштового /13/ величина 1-K_refr определена для больших углов столкновения:

1-K_refr = 1-a·exp(-b·ln φ – ln c)²)-exp(-d· φ) (11)

при 3<Lp<1200 ; 40<Re<1050 ; 0.18<D<0.53 ; φ > 10^o ,

где

a= 0,305+0,00047·Re-0,0000001587· Re² ,

b= 13,251-0,0346·Lp+0,0000389· Lp² ,

c= 32,721+0,008· Re-0,000002307· Re² ,

d= 0,139-0,000381· Lp+0,000000324·Lp².

По данным из /12/ выбитые из пленки осколки принадлежат двум узким группам (Dp_refr/Dp_i = 0.22 и 0.87), массовые доли которых равны 0.1-0.15 и 0.85-0.9 соответственно. Среднее значение модуля начальной скорости осколков равно 0.8-0.85·|Wp_i|, а угол между их траекторией и поверхностью

ψ = 0.3·φ. (12)

В расчетах происходит осреднение размера каждой группы в расчетной ячейке, поэтому для простоты средний диаметр осколков

Dp_refr = 0.807·Dp_i , (13)

а модуль начальной скорости равен

0.8·|Wp_i|. (14)

Несколько другая модель, основанная на работах /14,15/ используется в системе FlowVision[6]. Для капель около стенки определяется число Вебера

We= ρ_p·D_p·Wp_n²/σ (15)

где Wp_n – нормальная составляющая скорости капель к стенке. При We<5 и при 10<We и S ≤ 1 капля целиком вливается в пленку. При 5 < We ≤ 10 капля целиком отскакивает от пленки. Здесь

S = Re/(24·Lp^0.419) , (16)

числа Re и Lp, также как и ранее, вычисляются по размеру капли и физическим свойствам жидкости.

При 10<We и S>1 происходит разбрызгивание, сопровождающееся возвращением вторичных капель (осколков) из пленки в газ. Доля капель, перешедшая в пленку

1-K_refr = S^-0.6 , (17)

а средний диаметр выбитых капель Dp_refr определяется из соотношения

ln(Dp_refr/Dp) = -2-Dp/Dr-0.05·S, (18)

где Dr = 4066 мкм.

Подход к определению количества и параметров сорванных капель также не однозначен. При решении задач теплообмена можно использовать предельную модель /16/, в соответствии с которой расход жидкости в каждом сечении пленки равен критическому расходу, при котором в данных условиях начинается срыв. Эта модель дает заниженное значение расхода жидкости в пленке. Количество унесенной жидкости ΔM_out можно определять в размерных величинах /17/:

ΔM_out = (11.16·lnWg_τ-35.045)·(0.0348·Re_film +5.434)/[(0.0348·130.+5.434)·1000] (19)

Диаметр сорванных капель определяется по формуле /18/:

D_s = K_out·((σ/ρ_p)^0.5/Wg_τ)^1,2·L^0.4·(ρ_p/ρ_g)^0.2 , (20)

где D_s – средний заутеровский диаметр, K_out - опытный коэффициент (подбирается для соответствия данным эксперимента, например, /17/), Wg_τ - скорость газа вдоль пленки, L - максимально возможный масштаб турбулентных пульсаций (диаметр канала).

Предполагается использование вышеприведенных функций в различных сочетаниях.

1.2. Учет разбиения капель по группам.

С учетом того, что с пленкой взаимодействуют капли разных групп, общее количество выпавших в пленку капель G_in есть

G_in = Σ(ρ_p·α_p·Wp_n·S₁₂)_{i: Wpn i>0} , (21)

где суммирование идет по всем индексам (номерам) групп, у которых нормальная составляющая скорости Wp_{n i} направлена к пленке. Соответственно и коэффициент отражения, диаметр и скорость особые для каждой группы. В уравнении изменения импульса вместо разности

ρ_p·α_p·Wp_n·S₁₂·Wp_τ -ρ_p·α_p·Wp_n·S₁₂·K_refr·Wp_refr

надо использовать

Σ(ρ_p·α_{p i}·Wp_{n i}·S₁₂·Wp_{τ i} -ρ_p·α_{p i}·Wp_{n i}·S₁₂·K_{refr i}·Wp_{refr i}) _{i: Wpn i>0} . (22)

2. Модель столкновения капель.

Существуют модели столкновений, похожие на предлагаемую автором (см., например, /12,19,21/). Не претендуя на оригинальность, отмечу, что в данной модели:

- в схеме столкновений проведено деление осколков на осколки-снаряды (это капли, столкнувшиеся с более крупной каплей, но не изменившие своей массы) и осколки от мишени (это капли, образованные из вещества крупной капли, испытавшей столкновение);

- учтена система координат при использовании экспериментального коэффициента потери импульса β;

- в схеме расчета подробно описана ситуация полного развала крупной капли в результате столкновения с более мелкой каплей-снарядом.

Доказательство выполнения законов сохранения массы и импульса при использовании излагаемых ниже формул приведено в Приложении 4.

В газокапельном потоке сталкиваются капли, имеющие некоторую скорость сближения. Рассматриваем только парные столкновения, когда друг с другом сталкиваются только две капли, процессы внутри капли не рассматриваются[7]. Более крупную каплю условимся называть мишенью, мелкую – снарядом. Все капли разбиваются на группы (фракции) с номерами i=1,…,N, отличающиеся скоростью и диаметром[8]. Так как рассматривается не взаимодействие отдельных капель, а изменение характеристик взаимодействующих в течение некоторого интервала времени групп, то при таком подходе удобно использовать экспериментальные зависимости, дающие некоторые средние характеристики множества похожих столкновений.

Процесс столкновения можно представить следующим образом. За некоторый интервал времени при относительно малой скорости сближения часть снарядов полностью сливается с мишенями, а часть испытывает касательные столкновения, при которых снаряд теряет часть импульса. При относительно высокой скорости часть снарядов испытывает касательные столкновения с потерей импульса, а часть – выбивает из мишени несколько осколков и отскакивает сама. Осколки как бы отваливаются от мишени, которая за счет удара ускоряется. Отскочивший снаряд может при этом потерять часть импульса. Осколки от мишени и отскочившие снаряды относятся к группе (фракции) снарядов. В данной схеме столкновений не учитываются во всей полноте экспериментальные данные о дисперсном составе осколков, но, как будет показано ниже, при численном расчете эти данные и не могут достойно использоваться. С другой стороны, здесь нет неопределенности с импульсом снарядов, осколков и мишени. Фактически реализована так называемая «гипотеза 1» /12/ о перераспределении импульса и энергии нового вещества в группе – он равномерно распределяется по всем каплям. Эту гипотезу необязательно связывать с реальным механизмом выравнивания параметров капель, а можно рассматривать как осреднение скорости и температуры внутри группы.

В некотором объеме каждая группа i имеет характерные диаметр Dp_i, скорость Wp_i, объемную концентрацию α_pi, температуру Tp_i[9]. Для группы i возможно столкновение с более мелкими и с более крупными каплями из других групп. Столкновение с каплями такого же диаметра отнесем к случаю столкновения с более мелкими каплями. Рассмотрим эти процессы с использованием того же подхода и обозначений, что и в работе /19/. Для удобства будем использовать две системы координат: связанную со скоростью мишени до столкновения и абсолютную, связанную с соплом. Дополнительно введен коэффициент β уменьшения скорости отскочивших снарядов в системе координат мишени.

За время dt столкновение капель группы i с каплями группы f может произойти, если центр капли Dp_f будет находиться в цилиндре с площадью основания π(Dp_i+Dp_f)/4 и длиной образующей |Wp_i-Wp_f|dt. Вероятность столкновения капель учитывается введением коэффициента захвата е_if<1 (вычисление см. п. 2.5).Одна капля Dp_i с учетом коэффициента захвата е_if испытает

π(Dp_i+Dp_f)²·|Wp_i-Wp_f|·е_if·n_f·dt/4 (23)

соударений с каплями Dp_f. Здесь n_f – число капель группы f в единице объема. Произведение

К_if = π(Dp_i+Dp_f)²·|Wp_i-Wp_f|/4 (24)

называется константой коагуляции. В единицу времени одна капля диаметром Dp_i испытает

К_if·е_if·n_f

столкновений с каплями Dp_f. Исход столкновений, которые могут закончиться либо слиянием (коагуляцией) взаимодействующих капель, либо дроблением крупной капли, описывается коэффициентом эффективности соударений, представляющим собой математическое ожидание отношения изменения объема крупной капли (мишени) группы i к суммарному объему столкнувшихся с ней в течение некоторого времени мелких капель (снарядов) j:

F_ij=ΔV_i/(ΣV)_j.

При полном слиянии F_ij=1, при дроблении F_ij<1, если в осколки переходит часть вещества мишени F_ij<0. О способе определения этой величины будет сказано ниже (см. п. 2.5).

Так как капли некоторой группы i в зависимости от диаметра капель других групп могут играть как роль мишеней (при столкновении с более мелкими каплями), так и роль снарядов (при столкновении с более крупными каплями), рассмотрим эти ситуации отдельно, на единичном временном интервале.

2.1. Столкновение с мелкими каплями.

Здесь меняется масса капель данной группы i (мишеней), осколки переходят в группу, соответствующую снаряду f. Число капель-мишеней не меняется. В результате слияния одной капли с частью капель группы f, столкнувшихся с ней, ее масса в единицу времени возрастет на величину

К_if·е_if·n_f·V_f·F_if·ρ_p, (25)

где ρ_p – плотность вещества капель, V_f - объем одного снаряда.

Изменение массы капель группы i в единице объема среды в единицу времени при их слиянии со всеми более мелкими каплями Dp_f равно

n_i·Σ(К_if·е_if·n_f·V_f·F_if·ρ_p)_Dpf<Dpi , (26)

где запись Σ(…)_х означает суммирование при выполнении условия х.

С учетом того, что V_f= πDp_f³/6 и n_i= α_pi/ V_i , новая масса мишеней

M_{new i} = M_{old i} +ΔM_{little i} , (27)

где ΔM_{little i} = [6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ(К_if·е_if·F_if·α_pf·ρ_p)_Dpf<Dpi , и суммирование идет по всем группам в данной области пространства, для которых характерный диаметр Dp_f меньше диаметра мишени Dp_i, а M_{old i} – масса мишеней до столкновения.

Изменение импульса для удобства рассмотрим в системе координат, движущейся со скоростью мишени i до столкновения. Выделим случаи F_if >0 и F_if<0. Подчеркнем ещё раз, что в записи F_if индекс i относится к снаряду, а f – к мишени.

2.1.1. Изменение скорости капель группы i при F_if>0.

Эта ситуация соответствует малой скорости сближения капель. Импульс А «прилипшей» к мишени части снарядов есть

А=[6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ(К_if·е_if·F_if·α_pf·ρ_p·Wp_fi)_{Dpf<Dpi, Fif >0} , (28)

где Wp_fi=Wp_f-Wp_i – относительная скорость капель.

Импульс В отскочившей части снарядов (осколков) есть

В=[6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ(К_if·е_if·(1-F_if)·α_pf·ρ_p·Wp_fi·β_i)_{Dpf<Dpi, Fif >0} , (29)

где β_i - коэффициент уменьшения скорости осколков. Перпендикулярную Wp_fi компоненту скорости осколков пока не рассматриваем. Так как импульс С перешедших в осколки снарядов до столкновения был равен

С=[6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ(К_if·е_if·(1-F_if)·α_pf·ρ_p·Wp_fi)_{Dpf<Dpi, Fif >0} , (30)

то изменение импульса мишеней

ΔI_i =А+С-В=[6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ{К_if·е_if·α_pf·ρ_p·Wp_fi·[ F_if +(1-F_if)·(1-β_i)]}_{Dpf<Dpi, Fif >0} . (31)

В результате столкновения мишень начинает двигаться, то есть при новой массе M_{new i} она приобретает скорость W: M_{new i}·W=ΔI_i. В абсолютной системе координат новая скорость мишени (Wp_{i new}) связана со старой (Wp_{i old}) следующим образом:

Wp_{i new} = Wp_{i old} + ΔI_i/M_{new i}, (32)

при этом M_new > M_old.

2.1.2. Изменение скорости капель группы i при F_if<0.

Эта ситуация соответствует относительно высокой скорости сближения капель. При столкновении в осколки переходит часть вещества мишени i, поэтому необходимо предположение о скорости осколков. Предположим, что все осколки переходят в группу снарядов f, при этом отскочившие снаряды теряют часть импульса (в соответствии с коэффициентом β), а выбитые осколки имеют скорость мишени до столкновения, то есть неподвижны в принятой системе координат. В этой же системе координат мишень начинает двигаться. При этом в осколки не может перейти масса большая, чем масса мишень+снаряд, то есть для F_if есть ограничение

F_if > -(Dp_i³+Dp_f³)/ Dp_f³. (33)

Тогда

ΔI_i=[6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ{К_if·е_if·α_pf·ρ_p·Wp_fi·(1-β_i)}_{Dpf<Dpi, Fif < 0} (34)

Фактически ΔI_i – изменение импульса снарядов, так как осколки, в принятой системе координат, не влияют на изменение импульса.

Wp_{i new} = Wp_{i old} + ΔI_i/M_{new i},

при этом M_{new i} < M_{old i}.

Возможны случаи, когда мишень развалится, то есть M_{new i}=0. Для исключения таких ситуаций в процессе вычислений вводится искусственное ограничение для F_if в виде

F_if > -K(Dp_i³+Dp_f³)/ Dp_f³, 0<K<1. (35)

Фактически это означает, что часть осколков (один осколок) остается в данной группе i. Моменты возникновения этой ситуации (проблемные области течения) контролируются.

2.2. Столкновение с крупными каплями.

В этом случае данная группа i играет роль снарядов, то есть число капель изменяется пропорционально ушедшей или пришедшей массе. Аналогично предыдущему новая масса капель

M_{new i} = M_{old i} + ΔM_{big i} , (36)

где ΔM_{big i} = -α_pi·Σ{К_if·е_if·F_if·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p}_Dpf>Dpi , знак “-“ стоит для учета знака коэффициента эффективности соударений F_if. Отмечу, что с определенной группой мишеней f сталкиваются не все снаряды i, а их часть δ_fi (см. п.2.2.1.).

Изменение импульса, также как и ранее, рассмотрим в системе координат, движущейся со скоростью мишени до столкновения. Снова выделим случаи F_if>0 и F_if<0.

2.2.1. Изменение скорости капель группы i при F_if>0.

В этой ситуации ушедший к крупным каплям вместе с массой импульс не меняет скорость снарядов i. Импульс отскочивших снарядов В_f есть

В_f= α_pi·К_if·е_if·(1-F_if)·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_if·β_i, (37)

где Wp_if=Wp_i-Wp_f – относительная скорость капель, при этом, до столкновения, эти снаряды имели импульс

С_f= α_pi·К_if·е_if·(1-F_if)·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_if . (38)

Изменение импульса ΔI_fi касается той части снарядов δ_fi, которая столкнулась с мишенями f:

ΔI_fi = В_f -С_f = α_pi·К_if·е_if·(1-F_if)·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_if(β_f-1). (39)

В абсолютной системе координат скорость после столкновения с мишенями f есть

Wp_{f new} = Wp_{i old} + ΔI_fi/(M_{old i}·δ_fi -ΔM_fi), (40)

где Wp_{i old}, Wp_{f new} – соответственно скорости снарядов до и после столкновения, M_{old i} – масса снарядов до столкновения,

ΔM_fi = α_pi·К_if·е_if·F_if·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p – масса прилипшей к мишеням части снарядов. Здесь предполагается, что все снаряды группы i делятся пропорционально δ_fi, и каждая порция взаимодействует с соответствующей группой мишеней f. Величина δ_fi – отношение числа столкновений в единицу времени с мишенями группы f к общему числу столкновений с мишенями:

δ_fi = К_if·е_if·n_f·n_i/{n_iΣ(К_if·е_if· n_f)_{Dpf>Dpi, Fif >0}} . (41)

В абсолютной системе координат общий импульс группы i после столкновений (см. Приложение 5)

(M_{old i}+ΔM)·Wp_{i new} = (M_{old i}+ΔM)·Wp_{i old} + Σ(ΔI_fi)_{Dpf>Dpi, Fif >0} ,

где ΔM= Σ(ΔM_fi) _Dpf>Dpi , а средняя скорость после столкновений

Wp_{i new} = Wp_{i old} + Σ(ΔI_fi)_{Dpf>Dpi, Fif >0}/M_new. (42)

2.2.2. Изменение скорости капель группы i при F_if<0.

В этом случае в системе координат снаряда (капель данной группы i) отскочившие снаряды приобретают некоторую скорость

W_{out f} = (Wp_i-Wp_f)·β_f - (Wp_i-Wp_f) , (43)

где (Wp_i-Wp_f)·β_f – скорость отскочивших снарядов в системе координат мишени, (Wp_i-Wp_f) – скорость движения системы координат снаряда относительно системы координат мишени. Поэтому изменение импульса А отскочивших снарядов

А=α_pi·Σ{К_if·е_if·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_if·(β_f-1)}_{Dpf>Dpi, Fif < 0} . (45)

Импульс В перешедших в рассматриваемую группу i осколков от мишеней (полагаем, что осколки имеют скорость мишеней)

В=α_pi·Σ{К_if·е_if·F_if·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_if}_{Dpf>Dpi, Fif < 0} . (46)

Общее изменение импульса

ΔI=А+В=α_pi·Σ{К_if·е_if·ρ_p·Wp_if·[6·α_pf/(πDp_f³)]·[(β_f-1)+F_if]}_{Dpf>Dpi, Fif < 0} , (47)

соответственно скорость капель после столкновения

Wp_{i new} = Wp_{i old} + ΔI/M_{new i}. (48)

Здесь и выше не используется диаметр осколков, так как число столкновений определяется по диаметрам капель до столкновений.

2.3. Изменение массы, температуры и импульса группы капель в результате столкновений.

В результате столкновений с мелкими и крупными каплями итоговая масса капель группы i будет

M_{new i} = M_{old i} +ΔM_{little i} + ΔM_{big i} , (49)

соответственно, новая температура капель группы Tp_{new i} находится из соотношения

C_part·Tp_{new i}·M_{new i} = C_part·Tp_{old i}·M_{old i} +

+ [6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ(К_if·е_if·F_if·α_pf·C_part·Tp_{old f}·ρ_p)_Dpf<Dpi -

- α_pi·Σ{К_if·е_if·F_if·[6·α_pf/(πDp_f³)]·C_part·Tp_{old f}·ρ_p}_Dpf>Dpi . (50)

Фактически здесь мы пренебрегаем обменом массой через жидкую перемычку между каплями при отскоке, а также влиянием изменения энергии поверхностного натяжения на температуру капель (см. Приложение 6).

Cкорость капель определяется из соотношения

Wp_{i new} = Wp_{i old} + (ΔI_i+Σ(ΔI_fi) _{Dpf>Dpi, Fif > 0} +ΔI_{Fif < 0})/M_{new i}, (51)

2.4. Изменение диаметра в результате столкновений.

После некоторого интервала времени в результате столкновений с каплями других групп в рассматриваемой группе i будут находиться капли разных диаметров. Это будут увеличенные в результате слияния капли данной группы и пришедшие осколки.

Так как группа характеризуется одним диаметром, то он вычисляется как средний по новому числу капель из соотношения[10]:

M_{new i} = n_{new i}·ρ_p·π·Dp_{i средний} ³/6 . (52)

Новое число капель в группе n_{new i} определяется с учетом того, что при столкновениях с мелкими каплями число капель группы не меняется, а при столкновении с более крупными каплями,

в случае F_if>0, число прилипших снарядов есть

Δn_i ^- = -ΔM_{big i} /[ ρ_p·π·Dp_i³/6] , (53)

где, с учетом знака, ΔM_{big i} – масса прилипших (ушедших из данной группы i) снарядов,

а в случае F_if<0 число пришедших осколков есть

Δn_i ⁺ = α_pi·Σ{К_if·е_if·F_if·[6·α_pf/(π·Dp_f³)]·[6/( ρ_p·π·Dp_{i осколок} ³)]·ρ_p}_Dpf>Dpi. (54)

В качестве диаметра осколков надо брать средний по массе, используя какие-либо эксперименгтальные данные (см., например, ссылки в работе /12/). В расчетах использовалась формула

Dp_{i осколок} = K_{осколок}·Dp_i,

где i – индекс группы снарядов (меньшей по диаметру из двух взаимодействующих).

K_{осколок}, чаще всего[11], полагалось равным 1.

Таким образом

n_{new i} = n_{old i} - Δn_i ^- + Δn_i ⁺ ; (55)

где n_{old i} = M_{old i}/[ρ_p·6/(πDp_i³)].

2.5. Вычисление коэффициентов захвата е_if, эффективности соударений F_if и коэффициента уменьшения скорости отскочивших снарядов β_f.

Коэффициенты е_if и F_if , входящие в выражения для расчета параметров капель при их слиянии и дроблении, рассчитываются по эмпирическим формулам. Индекс f относится к крупной капле, а индекс i - к мелкой, т.е. Dp_f > Dp_i.

Для расчета коэффициента захвата е_if можно использовать формулы, полученные Лэнгмюром и приведенные в /12,19/:

- для режима вязкого обтекания капли газом (Re_if £ 30),

при относительном числе Стокса

Stk_if > 0.607 e_if ^(в)= (1+0.75·ln(4·Stk_if)/(2·Stk_if-1.214))^-2 ; (56)

при Stk_if ≤ 0.607 e_if ^(в)= 0.

Числа Рейнольдса Re_if и Стокса Stk_if определяются по формулам

Re_if = ρ_p·Dp_f·|Wp_i-Wp_f|/μ_p ; Stk_if = ρ_p·Dp_i²·|Wp_i-Wp_f|/(18μ_p·Dp_f) ; (57)

- для потенциального обтекания капли (Re_if → ∞[12]),

при Stk_if > 0.0417 e_if ^(п)= (Stk_if/(Stk_if+0.25))² ; (58)

при Stk_if ≤ 0.0417 e_if ^(п)= 0.

Для промежуточной гидродинамической области предлагается формула

e_if = (60·e_if ^(в)+Re_if·e_if ^(п))/(Re_if+60). (59)

Если снаряды не очень малы, следует учесть поправку Δe_if к коэффициенту захвата, которая учитывает так называемый эффект зацепления (приведена в книге /12/ по данным Дж.Корбетта):

- при Re → 0 Δe_if =1.5(Dp_i/Dp_f)²; (60)

- при Re → ∞ Δe_if =3·(Dp_i/Dp_f).

Коэффициент эффективности соударений F_if может быть рассчитан по одной из формул

a) F_if = 1-0.246·Re_if^0.407·Lp_f^-0.096·γ_if^-0.278 30<Re_if <6000; 5<Lp_f<3×10⁵; 1,9<g_if<12 (61)

б) F_if = 1.4-1.979·λ+0.507·(2·λ²-1) 6<Re_if<385; 0,2<Lp_f<600; 1<g_if<12 (62)

где λ=(Re_if/383.6)^0.572(Lp_f/370.37)^-0.153(γ_if /2.37)^-0.597; λ<1, (63)

а g_if = Dp_f/Dp_i ; (64) Lp_f = ρ_p·Dp_f·σ/μ_p² – число Лапласа. (65)

По утверждению в работе /10/ формула (62) предпочтительнее, поэтому (61) используется в случае выхода λ, Re_if или Lp_f из диапазона допустимых значений формулы (62).

Коэффициент β_f уменьшения скорости отскочивших снарядов в системе координат мишени определяется как в работе /12/:

β_f = 0.08+0.016·We_f при We_f ≤ 12.5, (66)

в противном случае β_f =1. Здесь We_f = ρ_gas·D_pf·|W_gas-Wp_f|²/σ , f – индекс более крупной капли (мишени), σ – коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

3. Математическая модель потока в сопле.

3.1. Основные уравнения модели потока.

Проблеме построения двухжидкостных моделей газодисперсных потоков в научно-технической литературе уделено достаточно внимания /12,21-24/, поэтому воспользуемся известными результатами, не вдаваясь во все подробности. Предполагается, что:

- размеры капель много больше расстояний между молекулами газа;

- капель достаточно мало, чтобы не учитывать давление, создаваемое их хаотическим движением.

Оценка минимального масштаба[13], на котором применима модель сплошной среды, проведена в соответствии с /12/ и для наглядности представлена в виде таблицы 2.

Таблица 2

Оценка минимального масштаба L применимости модели сплошной среды

(допустимая погрешность ε в определении объемной концентрации капель

равна 10 %)

L ~ Dp·(ε^2·ap/4)^-1/3	ap = 0.001	ap = 0.01	ap = 0.1
Dp = 10 мкм	7,4 мм	0,34 мм	0,16 мм
Dp = 100 мкм	74 мм	3,4 мм	1,6 мм
Dp = 300 мкм	222 мм	10,2 мм	4,8 мм

Из сравнения результатов расчета сопла для экспериментальной установки (см. Введение и рис.2) по одномерной модели с данными таблицы 2 следует, что для капель можно использовать модель сплошной среды. При формулировке пространственной модели используем те же предположения, что и для одномерной, а именно, пренебрегаем силой тяжести (характерное значение числа Фруда Fr ~ 10²) и учитываем вязкость газа только в процессе межфазного взаимодействия (характерное значение числа Рейнольдса[14] Re ~ 10⁶)[15]. Для газа полагаем справедливым следующее уравнение состояния:

P_g = r_g·R_g·T_g, (67)

где g – индекс параметров газа, P_g – давление газа, T_g – температура, r_g - плотность, R_g – газовая постоянная. Предполагая, что движение газа определяется взаимодействием с каплями, турбулентностью пренебрегаем.

Рис.2. Р – давление газа, Х – расстояние вдоль сопла

В согласии с доводами работы /26/ пренебрегаем теплопроводностью и излучением в газовой фазе. Теплопроводность не учитываем из-за больших чисел Пекле ( Pe ~ 10⁵ ). Пренебрежение излучением в газах основано на работе /27/, где показано, что даже при температурах более 1500 К доля излучения газов в переносе энергии составляет не более 15 % по сравнению с излучением частиц. Что касается излучения частиц (в нашем случае – капель), то оно составляет менее 1 % от конвективного теплообмена и им можно пренебречь. Подробно получение характерных значений и оценка излучения изложены в Приложении 7.

Как и в работах /23,26/ для некоторого объема, в котором поток характеризуется такими величинами, как скорость газа W_g (здесь и ниже жирным шрифтом выделены векторы), давление, температура и плотность газа, объемная концентрация газа a_g, скорость капель W_p, температура капель T_p, плотность капель r_p, объемная концентрация капель a_p, можно записать законы сохранения.

Все капли делятся на несколько групп с номерами i от 1 до N. Взаимодействие между группами описано в п.2. Законы сохранения приведены в виде, соответствующем работам /19,26,36/.

Уравнение сохранения массы:

∂ ∫ (a_g·r_g·dv)_v/∂t = -∫ (a_g·r_g·(W_g·n)ds)_S , (68)

∂ ∫ (a_{p i}·r_p·dv)_v/∂t = -∫ (a_{p i}·r_p·(W_{p i}·n)ds)_S + ΔM_{little i} + ΔM_{big i}, i=1,…,N (69)

a_g + Σ(a_p)_i=1,…,N = 1, (70)

где ∫ (…)_v – интеграл по объему V, ограниченному поверхностью S, ∫ (…)_S –интеграл по поверхности S, n - внешняя нормаль к поверхности S, ΔM_{little i} – изменение массы за счет столкновения с более мелкими каплями (см. п.2.1), ΔM_{big i} – изменение массы за счет столкновения с более крупными каплями (см. п.2.2).

Уравнение сохранения импульса для газа:

∂ ∫ (a_g·r_g·W_g·dv)_v/∂t =

= ∫ (P_g·ds)_S - ∫ (a_g·r_g·(W_g·n)·W_g·ds)_S – Σ{ ∫ (a_{p i}·r_p·[F_{сопр i}+F_{A i}]·dv)_v}_i=1,…,N , (71)

где F_{сопр i} – сила взаимодействия между каплями и газом, деленная на массу капли[16], (см. п.3.4),

F_{А i} – сила Архимеда, вызванная тем, что капля находится в переменном поле давления[17] (см. п.3.5);

Уравнение сохранения импульса для капель:

∂ ∫ (a_{p i}·r_p·W_{p i}·dv)_v/∂t =

= -∫ (a_{p i}·r_p·(W_{p i}·n)·W_{p i}·ds)_S + ∫ (a_{p i}·r_p·[F_{сопр i}+F_{A i}]·dv)_v +[ΔI_i+Σ(ΔI_fi) _Dpf>Dpi],

при F_if>0 i=1,…,N (72)

или

∂ ∫ (a_{p i}·r_p·W_{p i}·dv)_v/∂t =

= -∫ (a_{p i}·r_p·(W_{p i}·n)·W_{p i}·ds)_S + ∫ (a_{p i}·r_p·[F_{сопр i}+F_{A i}]·dv)_v + (ΔI_i+ΔI)/M_{new i},

при F_if<0, i=1,…,N (73)

где ΔI_i, ΔI_fi, ΔI – изменение импульса капель в рассматриваемом объеме в результате столкновений (см. п.2), F_if – коэффициент эффективности соударений (см. п.2.5).

Уравнение сохранения энергии:

∂ ∫ (a_g·r_g·E_g·dv)_v/∂t =

= -∫ (P_g·(W_g·n)·ds)_S-∫ (a_g·r_g·(W_g·n)·E_g·ds)_S –

- Σ { ∫ (a_{p i}·r_p·Q_{p i}+a_{p i}·r_p·|[F_сопр+F_A]_i·W_{p i}|·dv)_v}_i=1,…,N . (74)

где E_g, как и в работе /28/, определяется следующим образом:

E_g = P_g/(r_g·(k-1))+W_g²/2, (75)

k – показатель адиабаты, а Q_{p i} – тепловой поток между газом и каплями, который, определяется так /20/:

Q_{p i} = 6·(T_g-T_{p i})·Nu_i·l_g/(r_p·D_{p i} ²), (76)

здесь l_g – коэффициент теплопроводности газа ( вт/(м·К) ), Nu _i – число Нуссельта, характеризующее режим теплообмена /12,14/:

Nu_i = 2+0.459·Re_{p i} ^0.55·Pr^0.33 , (77)

где Re_{p i} = ρ_g·D_{p i}·|W_g-W_{p i}|/μ_g - относительное число Рейнольдса для капель, Pr = C_{p_gas}·μ_g/l_g - число Прандтля, C_{p_gas} – теплоемкость газа при постоянном давлении ( Дж/(кг·К) ), μ_g – вязкость газа ( кг/(м·с) ). Из уравнений (68, 69, 71-74) видно, что в дифференциальной форме это будут так называемые эйлеровы уравнения. Также полагаем, что температура капель меняется по закону:

∂ ∫ (a_{p i}·r_p·C_part·T_{p i}·dv)_v/∂t =

= - ∫ (a_{p i}·r_p·C_part·T_{p i}·(W_{p i}·n)·ds)_S+ ∫ (a_{p i}·r_p·Q_{p i}·dv)_v (78)

где C_part – теплоемкость вещества капли. То есть в объеме, ограниченном поверхностью S, происходит осреднение температуры капель группы i. Процессы внутри капли не учитываются, то есть капля полагается однородной.

В работе /12/ отмечается, что влияние теплового взаимодействия фаз на параметры течения в соплах значительно слабее, чем влияние аэродинамического сопротивления, столкновений и пленки, поэтому более детальная информация о межфазном теплообмене, как и о теплообмене внутри фазы, не рассматривается (см. также /26/).

Основным объектом в экспериментальных исследованиях и в практических приложениях является поток в осесимметричном сопле, поэтому для численного моделирования удобна цилиндрическая система координат. Подача газа и жидкости в сопло организована с максимальной осевой симметрией, поэтому в математической модели поток полагается осесимметричным. Из всех сил, действующих на каплю, учитываются только силы сопротивления и плавучести (Архимеда). Это предположение основывается на оценках сил, сделанных в работах /12,24/.

Для замыкания системы необходимы условия на границах. Предлагается использовать следующие:

– на входе в сопло известны и постоянны вдоль радиуса давление и температура газа и капель, диаметр капель, заданы массовые расходы воды и воздуха, распределения по радиусу скорости газа и капель, объемной концентрации. Скорости и концентрации подбирались так, чтобы соответствовать экспериментальным данным (расходам и средним скоростям воды и воздуха);

– на открытой границе расчетной области[18] известны параметры окружающей среды (давление, температура), для других величин используется экстраполяция изнутри расчетной области, так называемый снос параметров[19]. Также может быть задано давление у среза сопла;

– на оси используется условие непротекания, что следует из осевой симметрии потока, фактически это также снос параметров, но при этом радиальная составляющая скорости равна 0;

– условия на жесткой стенке см. ниже в п.3.2.

За начальные данные, соответствующие моменту времени t₀, чаще всего принимались параметры окружающей среды (атмосферные условия), а для капель задавались минимальные скорость (менее 0,1 м/с) и объемная концентрация (~ 10^-6).

3.2. Учет пленки в граничных условиях.

3.2.1. Условия на границе внутри сопла.

Для элементов объема, одна сторона которых соприкасается с пленкой, определяются G_in – масса выпавших в пленку (коснувшихся пленки) капель, K_refr·G_in - отраженная от пленки масса капель (K_refr – коэффициент отражения) и ΔM_out – масса сорванных газом капель с гребней поверхностных волн. С этими величинами связан соответствующий импульс: G_in·K_refr·W_{p refr} – импульс отскочивших (выбитых) капель (W_{p refr} - скорость этих капель (см. п.1.1)), ΔM_out·W_film – импульс сорванных капель (W_film – скорость пленки), здесь предполагается, что сорванные газом капли имеют скорость пленки. Средняя температура капель вычисляется из соотношения (78), где перенос энергии через соприкасающуюся с пленкой сторону элемента объема равен

(K_refr-1)·G_in·C_part·T_{p i} + ΔM_out·C_part·T_film, (79)

и T_film– температура пленки (здесь предполагается, что сорванные газом капли имеют температуру пленки).

Из-за трения закон сохранения импульса и закон сохранения энергии газа для этих элементов объема будут выглядеть следующим образом:

закон сохранения импульса:

∂ ∫ (a_g·r_g·W_g·dv)_v/∂t =

= ∫ (P_g·ds)_S - ∫ (a_g·r_g·(W_g·n)·W_g·ds)_S –

- Σ{ ∫ (a_{p i}·r_p·[F_{сопр i}+F_{A i}]·dv)_v}_i=1,…,N - F_film·S₁₂, (80)

закон сохранения энергии:

∂ ∫ (a_g·r_g·E_g·dv)_v/∂t = -∫ (P_g·(W_g·n)·ds)_S – ∫ (a_g·r_g·(W_g·n)·E_g·ds)_S –

-Σ { ∫ (a_{p i}·r_p·Q_{p i}+a_{p i}·r_p·|[F_сопр+F_A]_i·W_{p i}|·dv)_v-

- ∫ (a_pi·r_p·|F_film|·|W_t-W_film|·dv)_v}_i=1,…,N, (81)

где F_film – сила трения между газом и пленкой (см. п.1.1), W_t - составляющая скорости газа, параллельная поверхности пленки.

Так как группа капель в элементе объема характеризуется одним диаметром, то он вычисляется как средний по новому числу капель n_new из соотношения:

M_new = n_new·ρ_p·π·Dp_{средний}³/6 , (82)

где M_new – масса капель в элементе объема после временного шага Δt.

Новое число капель в группе определяется с учетом того, что с пленкой сталкиваются капли старого диаметра, а отражаются – нового (см. п.1.1), также своим диаметром характеризуются сорванные газом с поверхности пленки капли. Число отраженных от пленки капель:

Δn_refr = K_refr·G_in·Δt/(ρ_p·π·Dp_refr³/6) , (83)

где Dp_refr – средний диаметр отраженных капель (см. п.1.1),

число сорванных капель:

Δn_out = ΔM_out·Δt/(ρ_p·π·Dp_out³/6) , (84)

где Dp_out – средний диаметр сорванных капель (см. п.1.1).

Таким образом

n_new = n_old + Δn_refr + Δn_out ; (85)

где n_old вычисляется так же, как внутри потока, без учета пленки. n_old есть количество капель в элементе объема после интервала времени Δt, образовавшееся за счет перетекания капель через границы. Число пересекших границу элемента объема капель определяется с учетом направления потока, то есть в качестве диаметра берется диаметр капель там, откуда вытекает поток:

Δn_out = ΔM_out·Δt/(ρ_p·π·Dp³/6) , (86)

где ΔM_out – поток капель через границу за единицу времени.

3.2.2. Моделирование выхода пленки из сопла.

Для элемента объема, примыкающего к торцу сопла в зоне выхода пленки, ставятся специальные граничные условия. Прежде всего, исходя из известных расхода воды в пленке G_film и заданного в качестве параметра максимально допустимого значения объемной концентрации жидкости a_{p max} на границе элемента объема определяется общая площадь сторон элементов S_бок, через которую втекает, «вдувается» жидкость. Так как, для максимального соответствия физической картине потока, a_p должно стремиться к 1, то у кромки сопла образуется некоторая зона длины Х, в которой a_p превышает величину «плотной упаковки сфер», то есть использование вышеизложенной модели потока не соответствует физической картине течения.

Предполагаем, что это несоответствие, в первую очередь, проявляется в неверном задании силы сопротивления. Не вдаваясь в тонкости процесса распада пленки, основываясь на результатах экспериментов (см. фотографию потока у среза сопла в работе /6/), в качестве грубого приближения силы сопротивления в этой зоне, в расчетах используются формулы:

F_{сопр r} = K_r·(2+sin[π(0.5+х/Х)])·F_{сопр r}^* (87)

F_{сопр z} = K_z·(2+sin[π·х/(Х·2)])· F_{сопр z}^* (88)

где F_{сопр z}, F_{сопр r} – компоненты силы сопротивления вдоль и поперек потока, F_{сопр z}^* и F_{сопр r}^* – соответствующие компоненты силы аэродинамического сопротивления сопротивления, вычисленной по формуле (90), приведенной в п.3.4, K_r, K_z – подбираемые константы, Х – задаваемая длина аномального участка, х – расстояние конкретной ячейки от среза сопла. Приведенные формулы учитывают уменьшение продольной и увеличение поперечной составляющих силы сопротивления набора капель. Это аналог элемента жидкой пелены, сходящей со стенки сопла и ориентированной вдоль потока.

Подчеркну, что здесь не ставится задача точно смоделировать распад пленки. Важно просто оценить явление, чтобы понять насколько сильно пленка влияет на поток у среза сопла.

3.2.3. Изменение расчетной сетки с учетом пленки.

Для удобства граница расчетной области проходит не по стенке канала, а по кривой[20] – сплайну третьего порядка, сглаживающему поверхность пленки. Принят следующий способ учета толщины пленки:

1) на первом этапе расчет проводится до получения практически стационарного решения без поправки сетки;

2) затем, по полученной толщине пленки, строится подходящий сплайн, исправляется сетка, и расчет продолжается опять до стационарного решения;

3) по вновь полученной толщине пленки строится сплайн и сравнивается со старым, если отличие в толщине превышает заданную точность, то повторяется второй этап.

3.3. Учет аэродинамического дробления капель.

В формулируемой модели это явление фактически играет роль ограничителя максимального диаметра капель. Модель аэродинамического дробления строится на основании анализа результатов ряда работ, проведенного в книге Л.Е.Стернина и А.А.Шрайбера /12/, где показано, что капля дробится не мгновенно, а по истечении некоторого времени τ_{дробление} после начала силового воздействия:

капля не дробится при We < We_{критическое}

τ_{дробление} = τ·А при We = We_{критическое} (89)

τ_{дробление} = τ·А·exp[-(8,4·10^-4·Re_{критическое}-3,44)·(1-We/We_{критическое})] при We > We_{критическое}

Здесь полагаем

τ = 3,32·Dp²·ρ_p/(4·μ_p· Lp^0,5) – период собственных колебаний капли;

A = 4,32-8,5·10^-4·Re_{критическое}-(0,15-4·10^-5·Re _{критическое}-)·ln(Lp) ,

Re_{критическое} = Re_р при We > We_{критическое}

Re_{критическое} = ρ_p·Dp_{критическое}·|W_g-W_p|/μ_g, при We = We_{критическое},

где Dp_{критическое} = We_{критическое}·σ/(ρ_gas·|W_g-W_p|²), Lp - число Лапласа (см. п.2.5).

Если τ_{дробление} < (N·π·D_p²·ΔW_p)^-1=Т, где Т – время свободного пробега капли, а ΔW_p – характерная разность скорости капель, то капля дробиться, в противном случае этого не происходит. Следует отметить, что все равно сохраняется некоторый произвол в выборе We _{критическое} , которое может принимать значения от 6 до 8.

3.4. Сила аэродинамического сопротивления.

В качестве силы взаимодействия между газом и каплями, в соответствии с оценками работ /10,14/ рассматривается только сила аэродинамического сопротивления. Для сферы в равномерном потоке газа эта сила, деленная на массу капли, рассчитывается по формуле:

F_сопр^* = (W_g-W_p)·|W_g-W_p|·Cd₀·r_g·3/(4·r_p·D_p) (90)

Для коэффициента сопротивления существуют различные формулы, однако в интересующем нас диапазоне параметров (D_p < 500 мкм, |W_g-W_p| < 100 м/с), как следует, например, из работы /26/, отличие этих формул невелико, поэтому в расчетах используется формула /29/:

Cd₀ = 24/Re_p+4.4/Re_p^0.5+0.32. (91)

Для очень мелких капель используется поправка Милликена на разреженность газа, как в работе /12/:

Cd_Kn = {1+Kn·[1.252+0.399·exp(-1.1/Kn)]}^-1, (92)

здесь число Кнудсена Kn = line/D_p, line – средняя длина свободного пробега молекул газа (см. Приложение 8).

Так как в потоке мы имеем дело не со сферой, а с каплей, то для коэффициента сопротивления требуется ряд дополнительных поправок. Наиболее существенны следующие:

- поправка В.Е.Алемасова и др. на деформацию капли, как, например, в работе /12/:

C_We = 15 при We>30 , (93)

C_We = exp(0.03·We^1.5) при We ≤ 30,

где We = r_g·|W_g-W_p|²·D_p/σ – число Вебера, σ – коэффициент поверхностного натяжения вещества капли,

- поправка на сжимаемость /30/, так как в некоторых зонах или на некоторых режимах скорость газа может приближаться или даже превосходить скорость звука:

Cd_press = 1+exp(0.427/M_p^4.63-3/Re_p^0.88), (94)

где M_p = |W_g-W_p|/a_g и a_g = (k·R_g·T_g)^0.5 – скорость звука в газе;

- поправка на взаимовлияние капель (на стесненность потока), так как известно, что присутствие других капель меняет силу сопротивления, причем эта поправка определяется неоднозначно (см. рис.3):

С_ap = 1/(1-a_p)^x – 1 < x < 5 в соответствии с работой /31/, или x = 2.7 в соответствии с работой /23/, или x = 16 в соответствии с работой /25/, (95)

Рис.3. Величина поправки на стесненность потока по данным разных авторов. На правой шкале приведены значения для кривой 1/((1-Ар)**16).

Таким образом, сила аэродинамического сопротивления капли вычисляется по формуле:

F_сопр = Cd₀·Cd_Kn·C_We·Cd_press·С_ap·(W_g-W_p)·|W_g-W_p|·r_g·3/(4·r_p·D_p) (96)

3.5. Сила Архимеда или учет неравномерного давления в потоке на движение капли.

Коэффициент сопротивления сферы и большинство поправок к нему определены для случая, когда сферу обтекает практически бесконечный равномерный поток. В этой ситуации внешний градиент давления отсутствует, в то время как в сопле он может достигать значительных величин. Если предположить, что в сечении потока газа, проходящем по носику сферы, давление равно Р₁, а в сечении кормы Р₂, то, в случае равенства скоростей газа и твердой сферы, можно определить силу, действующую на сферу в результате перепада давления (подробно см. Приложение 9):

F_А^* = (π/6)·D_p²·(P₁-P₂) = (π/6)·D_p³·grad(P) (97)

где grad(P) – градиент давления в потоке. Тогда на единицу массы действует сила

F_А = grad(P)/r_p (98)

Таким образом, сила Архимеда F_А учитывается как дополнительное слагаемое к силе аэродинамического сопротивления F_сопр.

Заключение

Вышеизложенная модель, сформулированная в рамках подхода взаимопроникающих континуумов /22/, использовалась при численном моделировании потока в сопле экспериментальной установки /34/ с использованием метода «крупных частиц» /26,28/. Результаты приведены в /35/.

Список использованных источников

1. Lemonnier H., Selmer-Olsen S. «Experimental investigation and phisical modelling of two-phase two-component flow in a converging-diverging nozzle»./Int. J. Multiphase Flow, vol. 18, No. 1, pp.1-20, 1992.

2. Лепешинский И.А., Яковлев А.А., Молессон Г.В., Воронецкий А.В., Онес В.И., Ципенко А.В. «Численное и экспериментальное исследование газокапельного течения в сопле с большими концентрациями дисперсной фазы».// Математическое моделирование, 2002, том 14, № 7, с. 121-127.

3. Лепешинский И.А., Воронецкий А.В., Зуев Ю.В., Онес В.И., Решетников В.А., Ципенко А.В. «Экспериментальные и теоретические исследования газокапельных струй с высокой концентрацией жидкости в газе».// Математическое моделирование, 2001, том 13, № 6, с. 124-127.

4. Воронецкий А.В. Экспериментальные и теоретические исследования двухфазных газокапельных течений в соплах и струях с высокой массовой концентрацией жидкости в газе.//Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, М., МАИ, 2000.

5. Воронецкий А.В. Методология проведения зондовых измерений в высококонцентрированных газодисперсных потоках и обработка их результатов. // Компрессорная техника и пневматика, -М.: 2003, № 1, с.33-37.

6. Ципенко А.В. Отличие равновесной и неравновесной моделей газокапельного потока при большой концентрации капель.// Научный вестник МГТУ ГА, сер. Аэромеханика,
прочность, № 72, 2004, М., тир.120 экз., 6.51 усл.п.л., с. 108-110.

7. Бузов А.А., Лепешинский И.А. «Расчет двухфазного течения в сопле при наличии пленки».// Вопросы газотермодинамики энергоустановок. Вып. 4. – Тематический сборник научных трудов, ХАИ, Харьков, 1977, с.55-66.

8. Ципенко А.В., Воронецкий А.В., Моллесон Г.В. Некоторые результаты численного и экспериментального исследования газокапельного потока с высоким содержанием жидкости // Тезисы докладов Третьей международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2000), Истра-Москва, 3-7 июля 2000 г., -М„ МГИУ, 2000, -408 с., с. 332-333.

9. Теплопередача в двухфазном потоке. / Под редакцией Д.Баттерворса и Г.Хьюитта: Перевод с англ. – М.: Энергия, 1980, -328 с.

10. Барилович В.А., Смирнов Ю.А. Численный метод расчета одномерного двухфазного потока в каналах переменного сечения: Учебное пособие. С.-Петербург, гос. тех. ун-т, СПб., 1997, 149 с.

11. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. –М.: «Мир», 1970, 440 с.

12. Стернин Л.Е., Шрайбер А.А. Многофазные течения газа с частицами. - М.: Машиностроение, 1994. - 320 с.

13. Подвысоцкий А.М., Баштовой А.И. «Массоперенос при взаимодействии капель со смоченной твердой поверхностью».//Промышленная теплотехника, 2002, т. 24, № 5, с.16-18.

14. D.W.Stanton, C.J.Ruthland, “Multi-Dimensional Modelling of Thin Liquid Films and Spray-Wall Interactions Resulting From Impinging Sprays”//Int. J. of Heat and Mass Transfer, vol. 41, pp. 3037-3054, 1998.

15. R.Schmehl, H.Rosskamp, M.Willmann, S.Witting, “CFD Analysis of Spray Propagation and Evaporation Including Wall Film Formation and Spray/Film Interaction” //Int. J. of Heat and Fluid Flow, vol. 20, pp. 520-529, 1999.

16. Ковальногов Н.Н. «Теплообмен двухфазного потока со стенкой сопла в условиях капельного уноса жидкости с поверхности конденсированной пленки».//Авиационная техника, №3, Казань, КАИ, 1982, с.37-42.

17. Гугучкин В.В., Ивановская В.И., Маркович Э.Э., Палладиев А.А. «Процессы и параметры срыва жидкости с пленки, текущей по стенке под действием газового потока».//Газотермодинамика многофазных потоков в энергоустановках. Вып. 6. – Межвузовский тематический сборник научных трудов, ХАИ, Харьков, 1984, с.46-50.

18. Левич В.В. Физико-химическая гидродинамика. – М., Физматгиз, 1959, -542 с.

19. Зуев Ю.В. Многофазные турбулентные струйные течения в элементах тепловых двигателей, установках и устройствах различного назначения: математическое моделирование, численное и экспериментальное исследование. Диссертация на соискание ученой степени д.т.н., Москва, МАИ, 1999.

20. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. –М.: Атомиздат, 1979, 415 с.

21. Васенин И.М., Архипов В.А., Бутов В.Г., Глазунов А.А., Трофимов В.Ф. Газовая динамика двухфазных течений в соплах. // Томск: Изд-во Томск.ун-та, 1986. - 264 с.

22. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат.лит., 1978. - 336 с.

23. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. - М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат.лит., 1987. Ч. I. - 464 с., Ч. II. - 360 с.

24. Гавин Л.Б., Шрайбер А.А., Наумов В.А., Яценко В.П. Турбулентные течения газовзвеси. - Киев: Наук. Думка, 1987. - 240 с.

25. Иваненко Н.И., Селиванов В.Г., Фролов С.Д. К оценке силового взаимодействия фаз в газожидкостных соплах. // Вопросы газотермодинамики энергоустановок. Вып. 3. – Тематический сборник научных трудов, ХАИ, Харьков, 1976, с.57-62.

26. Давыдов Ю.М., Косолапов Е.А. Численное моделирование двухфазных течений в соплах методом крупных частиц. – М.: Изд. Нац. акад. прикл. наук, 1998, -86 с.

27. Пирс Б.Э. Радиационный теплообмен внутри твердотопливного двигателя. // Ракетная техника и космонавтика, 1978, № 8, с. 147-151.

28. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. – М.: Наука, 1982, -392 с.

29. Клячко Л.С. Уравнения движения пылевых частиц в пылеприемных устройствах. //Отопление и вентиляция. – 1934, № 4, с. 27-29.

30. Карлсон Д.Дж., Хогланд Р.Ф. Сопротивление и теплопередача в соплах ракетных двигателей. // Ракетная техника и космонавтика, 1964, т. 2, № 11, с. 104-109.

31. Batchelor G.K. Sedimentation in a Dilute Dispersion of Spheres. // J. Fluid Mech., 1972, v. 52, N 2, pp. 245-268.

32. Ильгамов М.А., Гильманов А.Н. Неотражающие условия на границах расчетной области. –М.: Физматлит, 2003, 240 с.

33. Яворский Б.М., Детлаф А.А Справочник по физике. М., Наука, 1968, -940 с.

34. В.В.Костюк , А.В.Карпышев, И.А. Лепешинский, А.В.Воронецкий, А.В.Ципенко. Управление параметрами двухфазного потока в канале с большой массовой долей частиц. / Труды IV Минского международного форума «Тепло-массообмен ММФ-2000», 22-26 мая 2000 г., НАН Беларуси, АНК «Институт тепло- и массо- обмена им. А.В.Лыкова» НАНБ, том «Тепломассо-обмен в двухфазных системах», Минск, 2000, -517 с., с. 509-512.

35. A.V.Karpyshev, A.V.Tsipenko, A.A.Yakovlev. The Ceation of a Gas-Liquid Nozzle with Predictable Behaviour. / Proceedings of the Fourth International Conference on Engineering Computational Technology, Civil-Comp Press, paperback, 346 pageg+CD-ROM, 2004, ISBN 0-948749-98-9.

36. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. –М.: Машиностроение, 1974. –212 с.

Приложение 1. «Оценка работы силы трения жидкости о стенку сопла»

Оценим работу силы трения F_w жидкости о стенку на всей длине сопла. Примем скорость пленки в канале 40 м/с. Так как в потоке с большим содержанием капель пленка постоянно испытывает удары, то течение в ней можно считать турбулентным и, в соответствии с работой Уоллиса /11/, полагаем С_w = 0.005.Тогда

F_w = 0.005·1000·(40·40)/2 = 2.5·16·100 .

При длине сопла L=0.2 метра и максимальном диаметре 14 мм верхняя оценка площади стенок канала

S_{w max} = 7·2π·10^-3·L м².

Следовательно, величина работы силы трения меньше

F_w·S_{w max} = 4·100·0.2·43·10^-3= 3.5 Дж.

При расходе жидкости в пленке 10 г/с, что значительно меньше экспериментальных данных для базового режима течения, теплоемкость пленки около 42 Дж. Следовательно, влиянием работы силы трения о стенку на температуру пленки можно пренебречь.

Приложение 2. «Экспериментальное исследование сопла»

Параметры установившегося режима

№ опыта	Атмосферное давле-ние, мм.рт.ст.	Темпе-ратура наруж-ного воздуха у сопла, ^0С	Давление в баке во время запуска. кгс/см^2	Показа-ния термопа-ры у 1го маномет-ра до запуска, ^0С	Показа-ния термопа-ры на срезе до запуска, ^0С	Показа-ния термопа-ры у 1го маномет-ра, ^0С	Показа-ния термопа-ры на срезе, ^0С	Показания манометров. кгс/см^2							Пьезометр, мм.вод. ст.
								1	2	3	4	5	6	7
1-вода 12^0С (20.05)	742	17	------	14	13	13	11	4.5	4.25	3.6	2 (?)	0.8	0.25	0.0	---
2-вода (16 ^0С (07.06)	745	22	6,25	21	21	16	17	4.4	4.05	3.16	1.9		0.22	-0.05	-22
3-вода (16 ^0С (07.06)	745	21.5	6,25	19	19	16	17	4.3	4.0	3.16	1.9		0.2	-0.05	-20
4-вода (14.06)	743	24	7.63	24	24	19	19-20	3,8	3,75	2,8	1,74	0,6	0,2	-0.07 -0.05	-28
5-вода (14.06)	743	23.5	7.63	21	21	18	19-20	4	3,7	3	1,86	0,65	0,21	-0.03	-10

Показания манометров взяты по шкалам приборов, нули не выставлялись. В опытах 4-вода и 5-вода оставлено в смесителе 3 слоя отверстий вниз по потоку, остальные замазаны эпокс. смолой.

1 2 3 4 5 6 7

Приложение 2 (продолжение). «Экспериментальное исследование сопла»

Схема канала с расположением манометров

360.5

120

90.4

121.8 36.5 12.2 48 22 61

10 28 13.8 31

5

отверстия

вдува Стенка канала

жидкости

дренажные отверстия (к манометрам)

Камера смешения Цилиндрическая Втулка Сужающееся-расширяющееся сопло

Кольцевое сопло вставка

вдува воздуха

Стенка канала

Приложение 3. «Оценка испарения воды со стенки сопла».

Оценим максимальное количество энергии в секунду, которое может потратить пленка на испарение. Положим, что перепад температуры между пленкой и газом составляет 100 К, что превышает реальный. Тогда тепловой поток на испарение есть

Q = G_film·C_part = 0.2 ккал/с

С учетом теплоты парообразования I, равной 540 ккал/кг (минимальное значение для рассматриваемого течения), массовый расход пара от пленки составит

G_v = Q/I = 0.2/540 = 3.7·10^-4 кг/с

Таким образом, испарится может не более 3 % расхода жидкости.

Приложение 4. «Доказательство сохранения массы и импульса для модели столкновения капель»

Покажем, что в предлагаемой модели столкновений общая масса капель сохраняется:

так как ΔM_{little i} = [6·α_pi/(πDp_i³)]· Σ(К_if·е_if·F_if·α_pf·ρ_p)_Dpf<Dpi (а),

ΔM_{big i} = -α_pi·Σ{К_if·е_if·F_if·[6·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p}_Dpf>Dpi (б),

где i=1,…,N, ΔM_{little 1} = 0 и ΔM_{big N} = 0, то видно, что слагаемые групп (а) и (б) имеют одинаковую структуру. Пронумеруем группы в порядке возрастания диаметров капель, тогда

ΔM_{little i} соответствует суммирование вида Σ( Σ()_f=1,…,k-1)_k=2,…,N, а

ΔM_{big i} соответствует суммирование вида Σ( Σ()_j=i+1,…,N)_i=1,…,N-1, и число слагаемых для обеих групп равно N(N-1)/2. Правила суммирования можно представить в виде таблицы:

	для (а)		для (б)
	k=2	f=1	i=1	j=2,…,N
	k=3	f=1,…,2	i=2	j=3,…,N
	…	…	…	…
	k=N-1	f=1,…,N-2	i=N-2	j=N-1,…,N
	k=N	f=1,…,N-1	i=N-1	j=N
Или
	l=1	k=2,…,N
	l=2	k=3,…,N
	…	…
	l=N-2	k=N-1,…,N
	l=N-1	k=N

Следовательно, в группах (а) и (б) имеем набор пар одинаковых по структуре слагаемых с одинаковыми индексами, но разных знаков, то есть их сумма равна нулю.

Покажем, что в предлагаемой модели столкновений общий импульс капель сохраняется:

Исходя из уравнений (….), для каждого F_if >0, при фиксированных i и f, изменение импульса можно записать в следующем виде:

ΔI_if = К_if·е_if·F_if·[6·α_pi·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_{i old} - К_if·е_if·F_if·[6·α_pi·α_pf/(πDp_i³)]·ρ_p·Wp_{i old}+

+ К_if·е_if·(1-β_i+β_i·F_if)·[6·α_pi·α_pf/(πDp_i³)]·ρ_p·Wp_fi+ (*)

+ К_if·е_if·( β_f -1-β_i·F_if +F_if)·[6·α_pi·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_if

Для ΔI_if индексы меняются так: i 0(1,…,N-1) ; f 0(2,…,N), где N – число групп капель. Перепишем выражение (*) в другом виде:

ΔI_if = К_if·е_if·F_if·[6·α_pi·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_{i old} - К_if·е_if·F_if·[6·α_pi·α_pf/(πDp_i³)]·ρ_p·Wp_{i old}+

(a) (b)

+ К_if·е_if·F_if·[6·α_pi·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·(Wp_{i old}-Wp_{f old})+

(c)

+ К_if·е_if·(1-β_i+β_i·F_if)·[6·α_pi·α_pf/(πDp_i³)]·ρ_p·Wp_fi+

(d)

+ К_if·е_if·( β_f -1-β_i·F_if ) ·[6·α_pi·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_if

(e)

Для всего набора индексов i слагаемые вида (a) и (b) можно сгруппировать по парам:

К_if·е_if·F_if·[6·α_pi·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·(Wp_{f old}-Wp_{i old}) = К_if·е_if·F_if·[6·α_pi·α_pf/(πDp_f³)]·ρ_p·Wp_{fi old} (**)

а для каждого выражения (**) найдется единственное слагаемое (c) с такими же индексами, поэтому, в сумме, все слагаемые вида (a), (b) и (c) дадут ноль.

В слагаемом (d) переобозначим индексы:

К_{m n}·е_{m n}·(1-β_n+β_n·F_{m n})·[6·α_pm·α_pn/(πDp_n³)]·ρ_p·Wp_{m n} , m 0(1,…,N-1) ; n 0(2,…,N),

тогда, для всего набора индексов i, к слагаемому вида (e) найдется единственное слагаемое вида (d), а их сумма также обратится в ноль.

Аналогичные рассуждения справедливы для F_if <0.

Таким образом, сумма всех ΔI_if равна нулю, то есть общий импульс капель не изменился.

Приложение 5. «Общий импульс группы i после столкновений в абсолютной системе координат»

(M_{old i}+ΔM)·Wp_{i new} = {Σ(M_{old i}·δ_fi+ ΔM_fi)·Wp_{f new}}_Dpf>Dpi =

= {Σ M_{old i}·δ_fi[Wp_{i old}+ΔI_fi/(M_{old i}·δ_fi+ ΔM_fi)]}_Dpf>Dpi +

+ {Σ ΔM_fi·[Wp_{i old}+ΔI_fi/(M_{old i}·δ_fi+ΔM_{f i})] }_Dpf>Dpi =

= {Σ M_{old i}·δ_fi·Wp_{i old}}_Dpf>Dpi +

+ {Σ M_{old i}·δ_fi·ΔI_fi/(M_{old i}·δ_fi+ ΔM_fi)}_Dpf>Dpi +

+ {Σ ΔM_fi·Wp_{i old} }_Dpf>Dpi +

+ {Σ ΔM_fi·ΔI_fi/(M_{old i}·δ_fi+ ΔM_fi) }_Dpf>Dpi =

= Wp_{i old}·{Σ (M_{old i}·δ_fi+ΔM_fi)}_Dpf>Dpi +

+ {Σ (M_{old i}·δ_fi+ ΔM_fi)·ΔI_fi/(M_{old i}·δ_fi+ ΔM_fi)}_Dpf>Dpi

= (M_{old i}+ΔM)·Wp_{i old} + Σ(ΔI_fi) _Dpf>Dpi ,

где ΔM= Σ(ΔM_fi) _Dpf>Dpi .

Приложение 6. «Сравнение энергии поверхностного натяжения с теплоемкостью капли»

Пусть Dp = 100 мкм, тогда поверхностная энергия одной капли

E_{поверхность} = σ·S_{поверхность} = σ·π·Dp² = 0.075·π·10^-8 = 0.24·10^-8 Дж,

изменение энтальпии капли при изменении температуры на один градус (ΔT=1 K) составит

C_part·ΔT·ρ_p·π·Dp³/6 = 4,186·10³·10^-12·10³·π/6 = 0,22·10^-5 Дж,

то есть максимальное влияние поверхностная энергии менее 0.2 градуса и им можно пренебречь.

Приложение 7. «Получение характерных значений чисел Рейнольдса, Фруда, Пекле. Оценка излучения капли»

Получение характерных значений чисел Рейнольдса и Фруда:

Re = ρ·L·|W|/μ ; Fr = W²/(g·L)

На входе в сопло скорость газа и капель порядка 10 м/с, плотность газа около 6 кг/м³. За характерный размер принимаем длину сопла (~ 0.2 м), g = 10 м/с². В этом случае

Re = 6·0.2·10/(1.85·10^-5) = 6.47·10⁵ ; Fr = 10²/(10·0.2) = 50

На выходе из сопла скорость газа и капель порядка 100 м/с, плотность газа около 1.2 кг/м³. За характерный размер принимаем длину сопла (~ 0.2 м). В этом случае

Re = 1.2·0.2·100/(1.85·10^-5) = 1.3·10⁶ ; Fr = 100²/(10·0.2) = 5000

Оценка числа Пекле:

Pe = Pr·Re,

Pr = C_{p_gas}·μ_g/l_g

Для воздуха коэффициент теплопроводности l_g = 230·10^-4 ккал/(м·час·К), также полагаем C_{p_gas} = const = 0.242 кал/(г·К), (1 кал = 4.1868 Дж, для теплоемкости коэффициент пересчета 4186.8, для теплопроводности коэффициент пересчета в вт/(м·К) равен 1.163 ) поэтому

Pr = 0.242·4186.8·1.85·10^-5/(1.163·230·10^-4) = 0.701

и на входе в сопло Ре = 6.47·10⁵·0.242·4186.8·1.85·10^-5/(1.163·230·10^-4) = 4.5·10⁵,

на выходе из сопла Ре = 1.3·10⁶·0.242·4186.8·1.85·10^-5/(1.163·230·10^-4) = 9.11·10⁵.

Оценка излучения капель.

Проведем максимальную оценку величины теплового излучения капли. Капля не может излучать (Q_drop) больше, чем абсолютно черное тело, энергетическая светимость которого определяется законом Стефана-Больцмана /33/ и равна ξ·Т⁴ Вт/м², где ξ=5.6682·10^-8 – постоянная Стефана-Больцмана. Соответственно определяется тепловое излучение из газа в каплю Q_g. Тогда

Q_drop= π·D_p²·ξ·Т_p⁴, Q_g= π·D_p²·ξ·Т_g⁴,

разность потоков равна

Q_drop-Q_g= π·D_p²·ξ·(Т_p⁴-Т_g⁴) = π·D_p²·ξ·(Т_p-Т_g)·(Т_p+Т_g)·(Т_p²+Т_g²).

Поток тепла за счет теплопроводности вычисляем по формуле /1/:

Q_l= π·(T_g-T_p)·Nu·l_g·D_p.

Следовательно,

(Q_drop-Q_gas)/Q_l= π·D_p²·ξ·(Т_p-Т_g)·(Т_p+Т_g)·(Т_p²+Т_g²)/[π·(T_g-T_p)·Nu·l_g·D_p]=D_p·ξ·(Т_p+Т_g)·(Т_p²+Т_g²)/[Nu·l_g].

Тогда максимальное излучение капли диаметром 200 мкм и температурой 300 К составит

Q_drop= π·(200·10^-6)²·5.6682·10^-8·300⁴=5.77·10^-5 Вт.

Соответственно поток тепла на каплю из газа с температурой 230 К составит

Q_g= π·(200·10^-6)²·5.6682·10^-8·230⁴=1.99·10^-5 Вт,

разность потоков равна

Q_drop-Q_g= 5.77·10^-5-1.99·10^-5=3.78·10^-5 Вт.

Поток тепла за счет теплопроводности вычисляем по формуле:

Q_l= π·(T-T_p)·Nu·l_g·D_p= π·2·230·10^-4·1.163·2·10^-4·( T-T_p)=3.36·10^-5·( T-T_p) Вт.

В итоге

(Q_drop-Q_g)/Q_l= 10^-4·5.6682·10^-8·530·(300²+230²)/[2·230·10^-4·1.163] = 0.8·10^-2.

Приложение 8. «Оценка числа Кнудсена»

Kn = line/D_p,

line = 0.707/(N·πd²)– средняя длина свободного пробега молекул газа, N – число молекул в см³ газа, d – средний диаметр молекулы (см). Для воздуха при нормальных условиях

line = 0.707/[2.568·10¹⁹·π·(3.1·10^-8)²] = 9.12·10^-6 см

При постоянной температуре справедливо следующее соотношение /33/:

P₁·line₁ = P·line,

Поэтому на входе в сопло line₁ = P·line/P₁ = 1·9.12·10^-6/6 = 1.52·10^-6 см.

Соответственно для капель диаметром 30 мкм ( 3·10^-3 см ) на входе в сопло

Kn = 0.5·10^-3,

а на выходе:

Kn = 3·10^-3.

Приложение 9. «Расчет силы, действующей на сферу в случае равенства скоростей газа и твердой сферы, в результате перепада давления»

Р₁ - давление в сечении потока газа, проходящем по носику сферы,

Р₂ - давление в сечении кормы,

D_p – диаметр сферы,

n – нормаль к точке поверхности сферы

Предположим, что от сечения 1 (носик или левая точка пересечения с горизонтальной осью координат) до сечения 2 (корма или правая точка пересечения с горизонтальной осью координат) давление меняется линейно, то есть

P=(P₂-P₁)·R·cosα/(2R)+(P₁+P₂)/2=(P₂-P₁)·cosα/2+(P₁+P₂)/2=A·cosα+B

и вдоль горизонтальной оси существует градиент давления grad(P).

Тогда суммарная сила давления направлена также вдоль горизонтальной оси и равна интегралу горизонтальной составляющей силы давления по поверхности сферы:

F_А = - ∫ (P·n_x·dS)_-π…0

здесь n_x = cosα – горизонтальная составляющая нормали к поверхности сферы,

dS = 2π·m·L - площадь кольцевого элемента поверхности сферы,

L = R·dα – ширина кольцевого элемента поверхности сферы,

m = R·sinα – удаление кольцевого элемента от оси сферы.

С учетом введенны обозначений

F_А = - ∫ [(A·cosα+B)·cosα·2π·R²·sinα·dα]_-π…0 =

= -2π·R²·[ A· ∫(cos²α· sinα·dα)_-π…0 + B· ∫ (cosα·sinα·dα)_-π…0] =

= -2π·R²·[ A·(-cos³α|_-π⁰)/3 + B·(sin²α|_-π⁰)/2 =

= -(2π/3)·D_p²·(P₁-P₂)/4 = -(π/6)·D_p²·grad(P)·D_p = -(π/6)·D_p³·grad(P)

Математическая модель дисперсного неравновесного потока с большой долей жидкости в сопле с учетом пленки, столкновений и аэродинамического дробления капель /Ципенко А.В.; НИИ низких температур при МАИ, -Москва, 2004, -___с.: ил. –Библиогр.: 35 назв. –Рус. –Деп. в ВИНИТИ	Математическая модель дисперсного неравновесного потока с большой долей жидкости в сопле с учетом пленки, столкновений и аэродинамического дробления капель /Ципенко А.В.; НИИ низких температур при МАИ, -Москва, 2004, -___с.: ил. –Библиогр.: 35 назв. –Рус. –Деп. в ВИНИТИ
Математическая модель дисперсного неравновесного потока с большой долей жидкости в сопле с учетом пленки, столкновений и аэродинамического дробления капель /Ципенко А.В.; НИИ низких температур при МАИ, -Москва, 2004, -___с.: ил. –Библиогр.: 35 назв. –Рус. –Деп. в ВИНИТИ	Математическая модель дисперсного неравновесного потока с большой долей жидкости в сопле с учетом пленки, столкновений и аэродинамического дробления капель /Ципенко А.В.; НИИ низких температур при МАИ, -Москва, 2004, -___с.: ил. –Библиогр.: 35 назв. –Рус. –Деп. в ВИНИТИ
Математическая модель дисперсного неравновесного потока с большой долей жидкости в сопле с учетом пленки, столкновений и аэродинамического дробления капель /Ципенко А.В.; НИИ низких температур при МАИ, -Москва, 2004, -___с.: ил. –Библиогр.: 35 назв. –Рус. –Деп. в ВИНИТИ

---

[1] Предполагается использовать метод установления в рамках метода «крупных частиц» или потоков.

[2] В рассматриваемых потоках фазовые переходы практически отсутствуют, поэтому испарением пленки пренебрегаем.

[3] Здесь и далее пренебрегаем массовыми силами, так как они значительно меньше сил трения и сопротивления.

[4] Предполагаем, что поверхность пленки сглажена, то есть игнорируем реальную волновую поверхность.

[5] Этому значению, как будет показано ниже, отдано предпочтение.

[6] Разрабатывается и распространяется ООО «Тесис».

[7] В работе /33/ рассматриваются колебания капли, образованной в результате слияния двух других. Показано, что в ряде случаев необходимо учитывать время «успокоения» капли, так как в это время она довольно сильно отличается от сферы. В нашем случае, с одной стороны, размер полученных капель осреднялся методикой обработки экспериментальных данных /12/, с другой – изменение коэффициента сопротивления также учитывается осредняющими экспериментальными зависимостями.

[8] Разбиение проводится по диаметру на некоторый начальный момент, в процессе расчета скорость и диаметр капель каждой группы меняются во времени и пространстве.

[9] Характерные величины вводятся по массе импульсу и энергии как средние арифметические с учетом числа капель в объеме.

[10] Фактически, на этом этапе теряется информация о дисперсном составе осколков, поэтому она и не используется в модели.

[11] Возможно использование каких-либо экспериментальных зависимостей (см., например, ссылки в /12/).

[12] В расчетах принято Re_if > 1000.

[13] В литературе может встречаться также термин «представительный элемент объема» или «характерный объем».

[14] Re = ρ_p·L·|W_g|/μ_g – число Рейнольдса потока газа, вычисляемое по характерному масштабу.

[15] Подробно вычисление характерных значений см. Приложение 6.

[16] Масса капли определяется по формуле m_p=r_p·π· D_p³/6. Фактически, здесь и далее D_p – диаметр капли в отсутствие внешних сил (сфера).

[17] Следует отметить, что эта сила далеко не всегда учитывается в моделях сопловых течений, обычно предполагается, что размеры капель или частиц много меньше расстояний, на которых существенно меняются макроскопические параметры фаз.

[18] В расчетную облась входит, помимо объема, ограниченного стенками сопла, зона у среза сопла.

[19] При использовании этих условий в чисто газовых потоках происходит отражение возмущений от открытых границ, что увеличивает время расчета. Проблеме построения неотражающих граничных условий в научно-технической литературе в последнее время уделяется много внимания (см. упомянутую в работе М.А.Ильгамова и А.Н.Гильманова /32/ библиографию). Однако, в нашем случае, дискретная фаза очень сильно гасит отраженные возмущения, поэтому экстраполяции оказывается вполне достаточно.

[20] Для двумерного потока.